1. Poisson regression (without offset)
Data preparation:
Fit the Poisson regression model:
- 回归方程
- $\ln(\mu_i) = 0.308+0.0764x_i$
- $y_i \sim Poiss(\mu_i)$
- 系数解释
- 0.308：当x=0时，y的均值为$\exp(0.308) = 1.361$
- 0.0764：x每增加1单位，y的均值变为原来的$\exp(0.0764)=1.08$倍
- Wald test：slope显著不为0
- Deviance information
- 回顾LR中的内容，deviance表示一个模型与saturated model的距离。
- Null deviance表示null model的deviance：null model即为no predictors的model。可以看到null model的deviance为48.310。
- Residual deviance表示我们的model的deviance。可以看到我们模型的deviance位27.842。
- Null deviance减去Residual deviance得到「deviance test statistic」，这里为48.310-27.842=20.468——我们可以用来test H0(beta1=0)。当H0为真时，该统计量服从自由度为(2-1=1)的卡方分布。使用命令
1-pchisq(20.468, df=1)得到p值为6.063e-06，说明可以拒绝H0。
- 可以作为GOF的几个数值
- residual deviance：越小越好（与饱和模型越接近）
- AIC：越小越好
2. Poisson regression (with offset)
Data preparation: a dataset called eba1977 from the ISwR package. This data set contains counts of incident lung cancer cases and population size in four neighbouring Danish cities by age group.
在本例中，字段pop就是一个明显的interval字段。因此我们用带有offset的泊松回归模型：
$$
y_i \sim \text{Poiss}(\lambda_it_i)\\
\ln(\lambda_it_i) = \beta^T\mathbf{x}_i + \ln(t_i)
$$
有两步不同：第一，需要将interval字段取ln后变成新的一列；第二，在回归时用offset将该log_interval字段包起来：
