How other variables influence the association we are studying?

• Interaction: is the association between x and y the same in various subgroups?
• Confounding: can the observed association between x and y be explained, or partly explained by other factors?

1. Interaction

例如，y和x1的关系，受x2水平的影响。我们的模型变为：

$$ y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_1x_2 + \epsilon $$

例如，x2是discrete的，假设取0或1：

Remarks:

1. 虚假交互很容易因为极端值而被做出来，需小心。
2. 若交互项是显著的，报告后结束；若交互项是不显著的，则再fit一次无交互项的模型。
3. 拟合交互项需要更多的样本。
4. 当模型中存在交互项时，对构成这些交互项的自变量进行检验时不准确的。正确做法是：先不放交互项做模型，保留显著的自变量；然后做交互项，在含交互项的模型中只对交互项进行检验。
5. 共线性问题：交互项和构成它的自变量间常常存在较强的相关关系，易导致多重共线性。解决方法是，将相关的自变量mean center，并用mean center后的值构造交互项。

2. Confounding

[表现] If beta1 changes dramatically when x2 is introduced in the model.

[内因] 若不控制x2，则x1和y之间的关系会被x2混淆，不是纯净的。

[检测] 不引入x2回归一次，引入x2回归一次；比较两次的beta1的差距(by经验)。