1. 卡方分布

1.1 定义

设$X_1,\cdots,X_n$ i.i.d. $\sim N(0,1)$。令$Z=\sum_{i=1}^nX_i^2$，则称$X$是自由度为n的$\chi^2$变量，其分布称为自由度为n的$\chi^2$分布，记为：

$$ Z \sim \chi^2_n $$

即：n个独立的标准正态分布的平方和服从自由度为n的卡方分布。

1.2 概率密度函数

• n越大，pdf越趋于对称；n越小，pdf越不对称
• n=1与2时，pdf单调下降趋于0
• n≥3时，pdf有单峰

1.3 性质

• 均值为n，方差为2n
• 两个独立的卡方变量相加，结果仍是一个卡方变量，自由度为原来两个卡方变量的自由度之和
• 正态总体，样本方差有：$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$

2. t分布

2.1 定义

$X\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2_n$，且X和Y独立。称T为自由度是n的t变量，其分布称为自由度为n的t分布：

$$ T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t_n $$

即：由独立的标准正态分布与卡方分布可以构造出t分布。